Математики решили ключевую задачу ленты Мёбиуса после 50 лет поисков

В течение приблизительно 50 лет математики изучали вопрос о том, какая должна быть минимальная ширина ленты Мёбиуса, чтобы она не пересекалась сама с собой. Оригинально задачу выдвинули Чарльз Уивер и Бенджамин Халперн в 1977 году.

В своей статье они установили ограничение на ширину ленты, которое базировалось на геометрических свойствах свернутых кусочков бумаги: чтобы лента не пересекалась сама с собой, соотношение длины и ширины бумаги должно быть больше корня из 3 или около 1,73. Например, для ленты Мёбиуса длиной 1 см, её ширина должна быть больше чем корень из 3 или 1,73 см.

Ричард Шварц, учёный из Университета Брауна заинтересовался этой проблемой четыре года назад, когда обсуждал её с коллегой. Он попытался решить эту задачу несколько раз, и в 2021 году опубликовал статью со своим вариантом решения.

Однако Шварц ошибочно оценил форму ленты, так как оказалось, что двумерный лист бумаги имеет форму трапеции, а не параллелограмма. Чтобы упростить расчёты формы ленты, он начал экспериментировать со сжатием бумажных лент Мёбиуса и в результате через три бессонные ночи, с помощью коллег, нашёл новое доказательство своего промежуточного шага, которое значительно упростило постановку задачи.

Ленты Мёбиуса имеют множество удивительных свойств, которые привлекают внимание людей с момента их открытия в 1858 году. Например, ленты Мёбиуса являются неориентируемыми, так что муравей, идущий по ним, не сможет оказаться на "внутренней" или "внешней", "верхней" или "нижней" части поверхности.

Вместо этого муравьи двигаются по непрерывному контуру, охватывая обе стороны ленты своим движением. Поскольку ленту Мёбиуса можно использовать с обеих сторон поверхности без необходимости её переворачивания, она является полезным устройством для широкого круга применений, включая магнитофоны, пишущие машинки, конвейерные ленты, картриджи для печати и американские горки.

Источник: arXiv.